Fra Husbjørnen nummer 4, 2006
Dette er som regel sant nok, men kan vel være en dårlig trøst hvis stoffet oppleves både vanskelig og kjedelig. En annen årsak enn tidsmangel er at mange anvendelser krever forkunnskaper i andre fag, noe som er vanskelig å forutsette. Nå skal det sies at grunnkursene i matematikk nok inneholder en god del mer anvendelser i dag enn tilfellet var tidligere. Ikke minst det faktum at alle nå må tilegne seg et minimum av informatikkkunnskaper gir tilgang på en stor samling av eksempler og anvendelser som egner seg godt som krydder i matematikkurs.
Uansett, matematikkursene er primært matematikkurs og det kan kanskje være av interesse å se hvor de ulike delene av matematikken anvendes. Her skal vi særlig se på pensum i de fire kursene, MAT 1100-1120 og MAT-INF 1100. Under finner du en liste av emner med anvendelser listet opp.
Algebra (bokstavregning). Algebra er ikke et eget emne i de innledende matematikkursene, men det nevnes her fordi det går igjen overalt der matematikk brukes, altså i alle fag på MN-fakultetet. Algebra er nødvendig i så og si alle deler av et matematisk resonnement. Huller i algebrakunnskapene vil derfor gjøre at alt som har med matematikk å gjøre blir tungt.
Tall. Det er neppe nødvendig å motivere bruken av reelle tall, men en kan jo lure på hva vitsen er med komplekse tall. Det viser seg at de er som skreddersydd for å regne med enkelte fysiske st-rrelser som vekselstrøm, og komplekse tall er også sentrale i kvantemekanikken. Det bør også nevnes at en ytterligere generalisering av tallene til fire dimensjoner, såkalte kvarternioner, er svært hendige i datagrafikk der de brukes til å representere rotasjoner om en vilkårlig akse i rommet.
Induksjonsbevis. Dette er en svært nyttig bevisteknikk i matematikk, men den er nært knyttet til rekursjon som er en tilsvarende nyttig og slagkraftig programmeringsteknikk.
Følger og konvergens. Følger er opplagt nyttige i anvendelser siden så mye av det vi observerer rundt oss er sekvenser av tall, for eksempel digital lyd. Dessuten er en vanlig måte å løse matematiske problemer på datamaskiner (ikke minst de som kommer fra anvendte teknikker) å generere en følge av løsningsforslag som etterhvert forhåpentligvis nærmer seg en løsning. Det å sjekke om vi nærmer oss en løsning innebærer blant annet å sjekke om følgen konvergerer.
Funksjoner og kontinuitet. Funksjoner forekommer i så og si alle deler av matematikken og er også svært nyttige i anvendelser. Dette kommer av at mange fenomener kan betraktes som en magisk boks der vi putter inn et tall og får ut et annet (eventuelt flere tall både inn og ut). Den magiske boksen er da funksjonen som bearbeider input til output. Et eksempel er hvordan et lydanlegg bearbeider et inngangssignal til et utgangssignal. Er funksjonen ikke kontinuerlig blir det svært problematisk å håndtere den - har vi da bare en liten feil i inngangsverdiene være vil vi kunne få helt ville resultater.
Derivasjon, integrasjon og differensialligninger. Den deriverte av en funksjon sier noe om hvor fort funksjonen vokser, og dette er et helt sentralt begrep i mange anvendelser (for eksempel fart, veksthastighet, temperaturendring osv). Integralet av en funksjon er tilsvarende viktig i og med at det kan betegne størrelser som areal, volum, total tilført energi og lignende. Svært mange lover i naturvitenskapene (og i fag som økonomi) kan formuleres som en sammenheng mellom en variabel størrelse og hvor fort den vokser. Dette leder dermed til en ligning som involverer en ukjent funksjon og dens deriverte, altså en differensialligning. Noen eksempler er gravitasjonslovene, utbredelse av elektromagnetiske bølger, prising av opsjoner (i finans).
Det er verdt å merke seg at differensialligninger bare i noen få tilfeller kan løses eksakt med en formel. Som regel må vi være tilfreds med en tilnærmet løsning som beregnes på datamaskin.
Taylorpolynomer og andre tilnærminger. Verden omkring oss er komplisert, og når vi forsøker å modellere den ved hjelp av matematikk ender vi opp med kompliserte funksjoner som det er vanskelig å arbeide med. Heldigvis er det enkelte grep vi kan benytte for å forenkle ting. Et vanlig triks er å tilnærmere en funksjon med enklere funksjoner som for eksempel polynomer eller trigonometriske funksjoner (Fourier-analyse). Dette er matematiske teknikker som vanligvis ikke i seg selv knyttes til anvendelser, men som ofte benyttes for å løse de matematiske problemene som oppstår.
Lineære ligningssystemer. Som vi kjenner til fra skolen er ligninger en usedvanlig slagkraftig teknikk for å løse en mengde anvendte problemer. Som regel er det ikke nok med én ligning, men vi har mange ukjente og trenger derfor også mange ligninger. Slike ligninger kan ha mange former, men de aller viktigste er de lineære der de ukjente bare multipliseres med tall og adderes sammen. De fleste differensialligninger kan ikke løses med en enkel formel, men kan overføres til et system av tradisjonelle ligninger som kan løses på datamaskin. En stor del av verdens regneressurser brukes til å løse slike ligningssystemer.
Egenverdier og egenvektorer. Egenverdier og egenvektorer er viktige begreper i mange anvendelser i og med at de gir informasjon om spesielle valg av variable som forsterker et systems oppførsel. Det er ikke så lett å gi korte og konkrete eksempler, men slike problemstillinger er viktige ved stabilitetsanalyse av fysiske systemer, analyse av vekstmodeller, statistisk dataanalyse, løsing av systemer av differensialligninger og mye annet.
Numeriske beregninger. Etterhvert har det blitt en del fokus på numeriske beregninger på datamaskin i de første matematikkursene. Grunnen til dette er enkel: De aller fleste som skal bruke matematikk i sitt arbeid vil ha behov for numeriske løsningsmetoder ved problemløsing. Gode eksempler på dette er det mange av blant annet i noen av fysikkursene.